Sætning, der skal bevises:
Projektion af vektorer
For to vektorer $\vec a$ og $\vec b$, hvor $\vec b \neq \vec 0$ gælder det at projektionen af $\vec a$ ind på $\vec b$ er givet ved
$$ {\vec{a}}_{\vec{b}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |^{2}} \cdot \vec{b}$$
Start af bevis
Hvis de to vektorer $\vec a$ og $\vec b$ har samme startpunkt, så er projektionen af $\vec a$ ind på $\vec b$ er defineret som forbindelsesvektoren mellem de to vektorers fælles startpunkt, og slutpunktet for $\vec a$ nedfældet vinkelret på $\vec b$ :
Den stiplede linje erstattes med en hjælpevektoe $\vec c$:
De tre vektorer $\vec a$, $\vec a_\vec b$ og $\vec c$ danner tilsammen en trekant sådan at
$\vec a =\vec a_\vec b + \vec c $
Ved at trække $\vec a_\vec b$ fra på begge sider får man:
$ \vec c = \vec a – \vec a_\vec b $
Da $\vec a_\vec b$ er parallel med $\vec b$, så eksisterer der et tal $t$, sådan at:
$\vec a_\vec b = t · \vec b$
$\vec a_\vec b$ kan altså bestemmes ved at finde værdien af $t$.
Ved at indsætte det i udtrykket for $\vec c$ ovenfor fås:
$\vec c = {\vec a} – { t · \vec b}$
$\vec c$ er vinkelret på $\vec b$, så derfor er deres prikprodukt nul
$\vec c \cdot \vec b = 0$
Ved at indsætte $\vec c = \vec a – t · \vec b$ får man:
$ (\vec a – t · \vec b) · \vec b= 0$
Ved at bruge vektorregnereglen $(\vec a + \vec b) · \vec c = \vec a · \vec c + \vec d b · \vec c$ kan venstresiden omskrives til
$\vec a · \vec b – t·\vec b · \vec b = 0 $
og da $\vec b · \vec b = |\vec b|^2$ fås
$\vec a · \vec b – t·|\vec b |^2 = 0 $
Dette er en ligning, hvor $t$ kan isoleres. Derfor lægges $t · |\vec b|^2$ til på begge sider af lighedstegnet:
$t · |\vec b|^2 = \vec a · \vec b$
Nu kan $t$ isoleres ved at dividere med $|\vec b|^2$ på begge sider
$\displaystyle t = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^{2}}$
Vi har altså fundet værdien af $t$. Sidste trin er at udnytte at $\vec a_\vec b = t · \vec b$:
$\displaystyle {\vec{a}}_{\vec{b}} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\left| \vec{b} \right|^{2}} \cdot \vec{b}$
Beviset er hermed afsluttet.