Fordoblingskonstant for en voksende eksponentialfunktion
Hvis en eksponentialfunktion, $f(x) = b \cdot a^x,$ er voksende og $f(x_2)=2·f(x_1)$, så er
$$ x_2-x_1 = \frac{ \log(2) }{ \log(a)} $$
Værdien af $x_2-x_1$ er en konstant som kaldes fordoblingskonstanten, $T_2= x_2 – x_1$. Der gælder derfor:
$$ T_2 = \frac{ \log(2) }{ \log(a)} $$
Bemærk at forudsætningen om at eksponentialfunktionen er voksende, betyder at $a>1$.
Bevis for sætningen
$f(x)=b \cdot a^x$
Forskriften for en voksende eksponentialfunktion $f$. Da $f$ er voksende er $a> 1$.
I næste trin opskrives et udtryk, der beskriver fordoblingen af funktionsværdien:
$f(x+T_2) = 2 \cdot f(x)$
Betydningen af fordoblingskonstanten $T_2$ er, at funktionsværdien $f(x)$ fordobles, når $x$ vokser med $T_2$, uanset værdien af $x$. Derfor vil funktionsværdien $f(x+T_2)$ være dobbelt så stor som $f(x)$, hvilket kan formuleres som
$$f(x+T_2) = 2 \cdot f(x)$$
$b \cdot a^{x+T_2} = 2 \cdot b \cdot a^x $
Forskriften $f(x) = b \cdot a^x$ på begge sider i ligningen.
$ a^{x+T_2} = 2 \cdot a^x $
Der divideres med $b$ på begge sider af lighedtegnet.
$ a^x \cdot a^{T_2} = 2 \cdot a^x $
Potensregnereglen $a^{p+q}=a^p \cdot a^q$ anvendes på venstresiden.
$a^{T_2}=2$
Der divideres med $a^x$ på begge sider af lighedstegnet. Dette er tilladt, da $a^x \neq 0$ for alle $x \in \mathbb R$. Det ses, at $T_2$ ikke afhænger af $x$, da $x$ ikke optræder i ligningen.
$\log(a^{T_2}) = \log(2) $
Logaritmen tages på begge sider af lighedstegnet.
$T_2 \cdot \log(a) = \log(2)$
Logaritmeregnereglen $\log(a^p) = p \cdot \log(a)$ anvendes på venstresiden.
$ \displaystyle T_2 = \frac{\log(2)}{\log(a)}$
Nu kan $T_2$ isoleres ved at dividere med $\log(a)$ på begge sider af lighedstegnet. Dette er tilladt, da det er forudat at $a>1$, hvilket betyder at $\log(a) \neq 0$. Dermed et det vist, at $T_2$ har samme værdi uansæt værdien af $x$, og dermed er konstant.