I det følgende bevises sætningen om beregning af fordoblingskonstanten for en voksende eksponentialfunktion. Udgangspunktet er en definiton af begrebet fordoblingskonstant:
Definition: Fordoblingskonstant for en voksende eksponentialfunktion
For en voksende eksponentialfunktion $f(x)=b \cdot a^x$, hvor det for to $x$-værdier, $x_1$ og $x_2$, gælder at $y_2 = 2 · y_1$, så
$$ f(x_2) = 2 · f(x_1)$$
kaldes størrelsen
$$ T_2 = x_2 – x_1 $$ for fordoblingskonstanten.
Med denne definition kan sætningen, der skal bevises, opskrives:
Sætning: Beregning af fordoblingskonstant
For en voksende eksponentialfunktion, $f(x) = b \cdot a^x$, hvor $a>1$ og $b >0$, er fordoblingskonstanten $T_2$ givet ved
$$ T_2 = \frac{ \log(2) }{ \log(a)} $$
Sætningen siger to ting: for det første at værdien af $T_2$ kan beregnes ud fra $a$. Og for det andet at $T_2$ rent faktisk er en konstant.
Bemærk at forudsætningen om at eksponentialfunktionen er voksende, betyder at $a > 1$. Det betyder specielt at $a \neq 0$, så værdien af brøken er veldefineret.
Bevis for sætningen
Bevis for sætningen
Første trin er at betragte to $y$-værdier, hvor $y_2$ er dobbelt så stor som $y_1$:
$y_2 = 2·y_1$
$y_1$ og $y_2$ erstattes med forskriften for eksponentialfunktionen, $y=b·a^x$:
$ b·a^{x_2} = 2·b· a^{x_1} $
Denne ligning giver sammenhængen mellem $x_1$ og $x_2$.
Næste trin i at isolere $x_2-x_1$ er at dividere med $b$ på begge sider:
$ a^{x_2} = 2· a^{x_1} $
For at samle $x_2$ og $x_1$ på samme side af lighedstegnet divideres med $a^{x_1}$ på begge sider af lighedstegnet:
$ \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = 2$
Ved at benytte potensloven $\displaystyle \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$ kan det omskrives til
$a^{x_2-x_1} = 2$
Det er en eksponentiel ligning, hvor $x_2-x_1$ er den ubekendte. Første trin i at løse en eksponentiel ligning er at tage logariten på begge sider af lighedstegnet:
$ \log(a^{x_2-x_1}) = \log{(2)} $
Ved at bruge logaritmereglen $\log(a^p)=p·\log(a)$ kan det nu omskrives til
$(x_2-x_1)·\log(a) = \log{(2)}$
Nu kan $x_2-x_1$ isoleres ved at dividere med $\log(a)$ på begge sider. Det er tilladt, fordi $a>1$ og dermed er $\log(a) \neq 0$:
$\displaystyle x_2-x_1 = \frac{\log(2)}{\log{(a)}}$
Ifølge definitionen er $T_2=x_2 – x_1$
$\displaystyle T_2 = \frac{\log(2)}{\log{(a)}}$
Hermed er sætningen bevist.