Bevis for monotoni sætningen

I det følgende bevises monotonisætningen.

Sætning der skal bevises

Monotonisætningen

Hvis en funktion $f$ er differentiabel i et interval $I=]a;b[$ så gælder følgende:

Hvis $f'(x)>0$ for alle $x \in I$ så gælder det at $f$ er voksende i $I$.
Hvis $f'(x)<0$ for alle $x \in I$ så gælder det at $f$ er aftagende i $I$.
Hvis $f'(x)=0$ for alle $x \in I$ så gælder det at $f$ er konstant i $I$.

Bevisstrategi

Sætningen består af tre dele. Her fokuseres på beviset for første del, hvor det antages af $f'(x)>0$ for alle $x$ indeholdt i et interval $I=]a;b[$. Beviset for anden del minder meget om beviset for del 1, og beviset for del 3 er ret kort og noget enklere end beviset for del 1 og 2.

Beviset (for del 1) går ud på at vise, at hvis $f'(x)>0$ for alle tilfældigt valgte værdier $x_1$ og $x_2$ sådan at $x_2>x1$ så medfører det at funktionen er voksende.

Beviset bygger på to forudsætninger: en definition af, hvad det betyder at en funktion er voksende, og en sætning, der kaldes middelværdisætningen:

Definition af begrebet voksende

En funktion $f$ er voksende i et interval $I$, hvis det for alle tilfældigt valgte værdier $x_1$ og $x_2$ indeholdt i $I$ gælder, at hvis $x_2>x_1$ så er $f(x_2) > f(x_1)$. Det kan skrives som $$ x_2 > x_1 \quad \Rightarrow \quad f(x_2)>f(x_1) $$

Middelværdisætningen:

For en funktion $f$, der er kontinuert i intervallet $[a;b]$ og differentiabel i intervallet $]a;b[$ gælder det, at der findes et tal $c\in ]a;b[$ så $$ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
Sætningen siger, at det et findes et sted i intervallet $]a;b[$, hvor tangenten til grafen for $f$ er parallel med sekanten gennem endepunkterne $(a; f(a))$ og $(b;f(b))$:

Strategi for del 1

Fremgangsmåden i beviset for del 1 er, at man ud fra fra to tilfældigt valgte punkter i intervallet viser, at når $x_2 > x_1$ så er $f(x_2) > f(x_1)$.

Man starter med at antage at $f'(x)>0$ for $x \in I$, og vælger så to tilfældige værdier $x_1, x_2 \in I$, sådan at $x_2 > x_1$. Herefter bruger man, at ifølge middelværdisætningen, findes der et tal $c$ imellem $x_1$ og $x_2$ så
$$
f'(c)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
$$
Værdien af $f'(c)$ er positiv, fordi det er forudsætningen for del 1. Og det kan bruges til at vise at $f(x_2) – f(x_1)$ også er positivt. Og det medfører at $f(x_2) > f(x_1)$ så $f$ ifølge definitionen er voksende.

Skjul bevisstrategi

Bevis for monotonisætningens første del

Start på bevis

Antag at $x_1$ og $x_2$ er to forskellige steder i intervallet $I=]a;b[$, sådan at

$x_2>x1$

Da $f$ er kontinuert i $I=[x_1,x_2]$ findes der ifølge middelværdisætningen et tal $c$ i intervallet $]x_1, x_2[$ sådan at

$\displaystyle f'(c)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$

Ved at multiplicere med $(x_2-x_1$) på begge sider af ligningen fås

$f'(c) \cdot (x_2-x_1) = f(x_2)-f(x_1)$

På venstresiden kan man se, at da $x_2 > x_1$, så er $(x_2-x_1)>0$.

Og ifølge antagelsen er $f'(x) > 0$ for $x \in I$, så $f'(c)>0$.

Venstresiden er altså et produkt af to positive størrelser, og derfor er venstresiden positiv.

$f'(c) · (x_2-x_1) >0$

Men det betyder at højresiden også er positiv:

$f(x_2)-f(x_1) > 0$

og derfor er

$f(x_2) > f(x_1)$

Vi har altså vist at hvis $x_2$ og $x_1$ er tilfældigt valgt, så $x_2 > x_1$, så medfører det at $f(x_2)>f(x_1)$:

$ x_2 > x_1 \Rightarrow f(x_2)>f(x_1) $

Dette er netop definitionen på, at en funktion er voksende, og det kan derfor konkluderes, at hvis $f'(x)>0$ for $x \in I$ så er $f$ voksende.

Beviset for del 1 er hermed afsluttet

Bevis for monotonisætningens anden del

Beviset for anden del forløber helt parallet med beviset for første del bortset fra at venstresiden af
$$ f'(c)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $$
nu er negativ fordi forudsætningen er at $f'(x)<0$. Det betyder så at $f(x_2)-f(x_1)$ er negativ, så $f(x_2)<f(x_1)$ og funktione er derfor aftagende.

Bevis for monotonisætningens tredje del

I tredje del er forudsætning, at $f'(x)=0$ og derfor er
$$ f'(c)= \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} =0 $$
og det medfører at $f(x_2)=f(x_1)$ og det betyder at $f$ er konstant.