Fordoblingskonstant for en voksende eksponentialfunktion
Hvis en eksponentialfunktion, $f(x) = b \cdot a^x,$ er voksende og $f(x_2)=2·f(x_1)$, så er
$$ x_2-x_1 = \frac{ \log(2) }{ \log(a)} $$
Værdien af $x_2-x_1$ er en konstant som kaldes fordoblingskonstanten, $T_2= x_2 – x_1$. Der gælder derfor:
$$ T_2 = \frac{ \log(2) }{ \log(a)} $$
Bemærk at forudsætningen om at eksponentialfunktionen er voksende, betyder at $a>1$.
Bevis for sætningen
$y_2 = 2·y_1$
$y_1$ og $y_2$ erstattes med forskriften for eksponentialfunktionen, $y=b·a^x$:
$ b·a^{x_2} = 2·b· a^{x_1} $
Vi har nu en udtryk, der giver sammenhængen mellem $x_1$ og $x_2$.
Næste trin i at isolere $x_2-x_1$ er at dividere med $b$ på begge sider:
$ a^{x_2} = 2· a^{x_1} $
For at samle $x_2$ og $x_1$ på samme side af lighedstegnet divideres med $a^{x_1}$ på begge sider af lighedstegnet:
$ \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = 2$
Ved at benytte potensloven $\displaystyle \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$ kan det omskrives til
$a^{x_2-x_1} = 2$
Det er en eksponentiel ligning, hvor $x_2-x_1$ er den ubekendte. Første trin i at løse en eksponentiel ligning er at tage logariten på begge sider af lighedstegnet:
$ \log(a^{x_2-x_1}) = \log{(2)} $
Ved at bruge logaritmereglen $\log(a^p)=p·\log(a)$ kan det nu omskrives til
$(x_2-x_1)·\log(a) = \log{(2)}$
Nu kan $x_2-x_1$ isoleres ved at diviere med $\log(a)$ på begge sider. Det er tilladt, fordi $a>$ og dermed er $\log(a) \neq 0$:
$ x_2-x_1 = \frac{\log{2}}{\log{(a)}}$
Hermed er sætningen bevist.