I det følgende bevises sætningen om beregning af fordoblingskonstanten for en voksende eksponentialfunktion. Udgangspunktet er en definiton af begrebet fordoblingskonstant:
Definition: Fordoblingskonstant for en voksende eksponentialfunktion
Fordoblingskonstanten $T_2$ for en voksende eksponentialfunktion $f(x)=b·a^x$ defineres defineres som:
$$ T_2=x_2-x_1 $$ hvor $x_2$ og $x_1$ er valgt sådan at den funktionsværdi, der hører til $x_2$ er dobbelt så stor som den funktionværdi, der hører til $x_1$:
$$
f(x_2)=2·f(x_1)
$$
Der gælder følgende sætning om fordoblingskonstanten:
Sætning: Beregning af fordoblingskonstant
Hvis $f$ er en voksende eksponentialfunktion $f(x) = b \cdot a^x$, hvor $a>1$ og $b >0$, så er fordoblingskonstanten $T_2$ givet ved
$$ T_2 = \frac{ \log(2) }{ \log(a)} $$
Sætningen siger to ting:
- for det første at værdien af $T_2$ kan beregnes ud fra $a$
- og for det andet at $T_2$ rent faktisk er en konstant
Bemærk at $\log(a) \neq 0$ fordi vi har forudsat at eksponentialfunktionen er voksende, det vil sige at $a>1$. Og derfor er brøken $\frac{ \log(2) }{ \log(a)} $ veldefineret, fordi vi har sikret os at vi ikke dividerer med nul.
Bevis for sætningen
Bevis for sætningen
Første trin er at betragte to funktionsværdier, hvor $f(x_2)$ er dobbelt så stor som $f(x_1)$:
$f(x_2) = 2·f(x_1)$
Forskriften for eksponentialfunktionen $f(x)=b·a^x$ indsættes:
$ b·a^{x_2} = 2·b· a^{x_1} $
Denne ligning angiver sammenhængen mellem $x_1$ og $x_2$.
Målet er nu at isolere $x_2-x_1$.
$b$ optræder som en faktor på begge sider af lighedstegnet. Derfor divideres med $b$ på begge sider:
$ a^{x_2} = 2· a^{x_1} $
For at samle $x_2$ og $x_1$ på samme side af lighedstegnet divideres med $a^{x_1}$ på begge sider af lighedstegnet:
$\displaystyle \frac{a^{x_2}}{a^{x_1}} = 2$
Ved at benytte potensregnereglen $\displaystyle \frac{a^r}{a^s}=a^{r-s}$ kan venstresiden omskrives til:
$a^{x_2-x_1} = 2$
Dette udtryk er en eksponentiel ligning, hvor $x_2-x_1$ er den ubekendte.
Første trin i at løse en eksponentiel ligning er at tage logaritmen på begge sider af lighedstegnet:
$ \log(a^{x_2-x_1}) = \log{(2)} $
Ved at bruge logaritmeregnereglen $\log(a^p)=p·\log(a)$ kan venstresiden omskrives til:
$(x_2-x_1)·\log(a) = \log{(2)}$
Nu kan $x_2-x_1$ isoleres ved at dividere med $\log(a)$ på begge sider af lighedstegnet. Det er tilladt, fordi $a>1$ og dermed er $\log(a) \neq 0$:
$\displaystyle x_2-x_1 = \frac{\log(2)}{\log{(a)}}$
Nu er $x_2-x_1$ isoleret.
Ifølge definitionen er $T_2=x_2 – x_1$:
$\displaystyle T_2 = \frac{\log(2)}{\log{(a)}}$
Hermed er sætningen bevist.